7.1. Преобразование Лапласа и его свойства

Операторный метод берет начало со времени анализа беско­нечно малых величин, когда были обнаружены определенные ана­логии между дифференциально-интегральными и алгебраически­ми уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по опера­ционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др. Однако строгое обоснование операторный метод получил только в XX в. на базе общей теории функциональных преобразований.

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести ре­шение из области функций действительного переменного t в об­ласть комплексного переменного р:

                                           

При этом операции дифференцирования и интегрирования функ­ций времени заменяются соответствующими операциями умноже­ния и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему диффе­ренциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегри­рования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Пря­мое преобразование Лапласа определяется уравнением.

                                  

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t  0 (при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям огра­ниченного роста:

                                        

где множитель М и показатель роста с₀ — положительные дейст­вительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

                             

Рис 7.1

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит назва­ние изображения по Лапла­су, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Сле­довательно, оригинал и изображение пред­ставляют собой па­ру функций действи­тель­ного (t) и комплексного (p) перемен­ного, связанных преобразованием Лапласа. Для сок­ращенной за­писи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую симво­лику  

где L - оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразо­ваний Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преоб­разования Лапласа, его можно записать в форме

                              

где a_k — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных ус­ловиях: f(0_–) ¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует сле­дующему условию

                                

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

     

Интегрирование оригинала

                

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема по­добия)

                                     

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t = at в прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема за­паздывания):

                               

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = t ± t₀.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t₀ соответствует умножению изображения на .

Смещения в области комплексного переменного (теорема сме­щения):

                                

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразова­ния Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности):

                              

                          

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продиф­ференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лап­ласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений:

 

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f₁(t) и f₂(t).

Дифференцирование изображения:

                               

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

                                   

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для ориги­нала и изображения:

                               

                               

Действительно, согласно свойства дифференцирования ориги­нала можно записать:

Учитывая, что , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

Рис. 7.2

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармониче­ские колебания, уровни постоянных напряжений, последователь­ность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют ис­пытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единич­ной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

                                

Изображение функции (7.19) будет равно:

           

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функ­ция называется еще d-функцией; она задается уравнением

                               

Функция Дирака является физически нереализуемой матема­тической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Фор­мально она может быть получена, например, предельным перехо­дом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

                                   

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильт­рующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):

Рис. 7.3                                                           Рис.7.4

Таблица 7.1

Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функ­ции (d-функции):

Экспоненциальный сигнал  при t > 0:

т. е.

                                    

Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу других функций, удовлетворяющих условию (7.3). В литературе имеются специальные справочники, в которых приведены ориги­налы и изображения широкого класса функций. В табл. 7.1 при­ведены оригиналы и их изображения наиболее часто встречаю­щихся в теории электрических цепей функций.

7.2. Теорема разложения

Для нахождения оригинала по изображению можно восполь­зоваться либо таблицами, либо использовать обратное преобразо­вание Лапласа (7.4). Однако вычисление оригинала с помощью (7.4) обычно оказывается весьма сложным. Поэтому, для упро­щения расчетов применяют теорему разложения, которая позволяет при нахождении оригинала заменить операцию интегрирования в (7.4) операцией суммирования, что значительно упрощает вы­числения. Наиболее строгий вывод этой теоремы можно осущест­вить на основании теоремы вычетов. Здесь мы ограничимся вы­водом формул разложения применительно к изображению, пред­ставляющему собой рациональную дробь:

       

где  — вещественные коэффи­циен­ты, причем F₁(p) и F₂(p) не имеют общих корней.

Для нахождения оригинала f(t) разложим F(p) на простые дроби:

                                  

где p_k — простые корни характеристического уравнения

            

A_k — коэффициенты разложения.

Для того, чтобы найти коэффициент A_k домножим обе части (7.26) на (р — p_k) и перейдем к пределу:

          

Раскрывая неопределенность в левой части равенства (7.28) по правилу Лопиталя и учитывая, что согласно (7.27) правая часть (7.28) равна A_k, получаем

            

Подставив значения A_k в формулу (7.26), найдем:

Если учесть, что изображение  (см. табл. 7.1), то на основании свойства линейности преобразования Лапласа окон­чательно получим:

                

Формула (7.30) является математической формулировкой тео­ремы разложения и позволяет найти оригинал по изображению в виде (7.25), в случае простых корней. Если среди корней p_k име­ется один нулевой корень, т. е. F₂(р) = pF₃(p), то теорема разло­жения примет вид

     

Формулу (7.31) можно получить, если подставить в (7.30) вместо F₂(р) значение pF₃(р) и осуществить операцию дифференцирования.

Если среди корней уравнения (7.27) (полюсов функции F(p)) имеются комплексно-сопряженные корни p_k и p_k+1, то в формуле (7.30) достаточно взять p_k, а для p_k+1 взять сопряженное значе­ние, при этом сумма соответствующая двум этим корням с учетом действительности f(t) будет равна

                                  

При этом в уравнении для f(t) появятся составляющие типа (6.9): .

Теорему разложения можно обобщить и на более общие слу­чаи. В частности, если среди полюсов (7.25) имеются полюса кратности l, то в оригинале f(t) появятся слагаемые типа (6.8).

Пример. Задано изображение в виде

.

Обозначим F₁(p) = p + 2; F₂(p) = p(p² + 5p + 4). При этом получим F(p) в виде (7.25). Найдем корни характеристического уравнения F₂(p) = p(p² + + 5p + 4) = 0.

При этом F₁(p₁) = 2; F₁(p₂) = 1; F₁(p₃) = –2.

Определим производную

Отсюда F₂¢(p₁) = 4; F₂¢(p₂) = –3; F₂¢(p₃) = 12. Воспользовавшись формулой (7.30), окончательно получим:

Учитывая, что среди корней характеристического уравнения F₂(p) = 0 имеем один нулевой корень, при нахождении f(t) можно было воспользоваться и форму­лой (7.31). Действительно, если обозначим

то получим

Тогда корни уравнения F₃(p) = 0 будут равны p₁ = —l, p₂ =—4. С учетом зна­чений

согласно (7.31) окончательно получим

что полностью совпадает с ранее полученным решением.

7.3. Расчет переходных процессов операторным методом

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме. Рассмотрим, например, последовательный RLC-контур (см. рис. 6.14), находящийся при ненулевых начальных условиях u_C(0_–) ¹ 0; i_L(0_–) ¹ 0. Для этого контура уравнение по ЗНК имеет вид:

  

Применив к (7.33) прямое преобразование Лапласа и принимая во внимание свойства линейности, дифференцирования и интегри­рования оригинала получим:

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной цепи:

             

где U₀(p) = U(p) + Li(0) — u_C(0)/p носит название операторного напряжения; Z(p) = R + pL + 1/pC — операторного сопротивления цепи. Если в Z(p) заменить р на jw, то получим комплексное со­противление цепи. Величины Li(0) и u_C(0)/p называют расчетны­ми напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и элек­трического полей, запасенную в L и С к моменту коммутации. Ве­личина, обратная Z(p) называется опера­торной проводимостью цепи:

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид

                          

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в опе­раторной форме:

первый закон (ЗТК)

                                       

второй закон (ЗНК)

                                      

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичным этим же законам в комплексной форме (см. (3.48)—(3.50)) с той лишь разницей, что в (7.37) в каждой из п ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют до­полнительные расчетные источники L_ki_k(0) и —u_Ck(0)/р, положи­тельное направление которых совпадает с выбранным положи­тельным направлением тока в этой ветви.

Используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, мож­но найти изображения искомых токов и напряжений в цепи. Для определения оригиналов токов и напряжений можно воспользо­ваться либо таблицами оригиналов и изображений, либо приме­нить теорему разложения.

Для иллюстрации основных теоретических положений найдем операторным методом закон изменения тока в последовательном RLC-контуре при включении его на источник постоянного напря­жения (см. § 6.5). Уравнение для изображения тока можно найти по закону Ома для нулевых начальных условий (7.35) с учетом изображения постоянного напряжения U(p)  U/p:

   

Найдем корни характеристического уравнения

При R > 2r корни будут вещественны и различны. Для нахожде­ния оригинала тока i(t) воспользуемся теоремой разложения (7.30). Для этого найдем производные F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂):

Подставив значения F₁(p) = F₁(p₂) = CU и F₂¢(p₁) и F₂¢(p₂) в (7.30) получим оригинал тока

что полностью совпадает с ранее полученным уравнением (6.68).

Из рассмотренного примера хорошо видны преимущества операторного метода: простота, отсутствие громоздких операций по определению постоянных интегрирования. Следует подчеркнуть, что базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмот­ренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схема­ми. При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изо­бражениями I(p) и U(p), индуктивность L заменяется на pL, а ем­кость С — на 1/pC при нулевых начальных условиях. Если начальные условия ненулевые, то последовательно с pL добавляет­ся источник напряжения Li(0), а с С — источник напряжения — u_C(0)/р (рис. 7.5)*. Например, эквивалентная операторная схема для цепи, изображенной на рис. 6.17, будет иметь вид (рис. 7.6). Составив для этой схемы уравнения по законам Кирхгофа в опе­раторной форме, получим систему алгебраических уравнений, ре­шение которых существенно проще системы (6.86).

Рис 7.5                                                    Рис 7.6

Операторный метод можно использовать и для решения уравнения состояния цепи (см. § 6.7). При этом уравнение состояния (6.94) с учетом свойств диффе­ренцирования оригинала и линейности преобразования Лапласа примет вид:

                        

где Х(р), W(p) — изображения векторов состояния x(t) и входных воздейст­вий W(t).

Из (7,38) получаем непосредственно решение

                       

где I — единичная матрица. Применив к (7.39) теорему разложения, можно по­лучить искомый вектор состояния

7.4. Операторные передаточные функции

Важную роль в методах анализа и синтеза электрических це­пей при нулевых начальных условиях играют операторные пере­даточные функции, которые определяются как отношение изобра­жения выходной реакции цепи к изображению входного воздейст­вия. В соответствии с этим определением различают четыре вида передаточных функций:

                 

где Н_и(р), H_i(p) имеют смысл операторных передаточных функ­ций по напряжению и току; Н_L(р); Н_Y(р) —операторные переда­точные сопротивление и проводимость соответственно.

Если в (7.40) заменить оператор р на jw, то получим уравне­ние комплексных передаточных функций Н(jw), которые были рассмотрены в § 4.1 и широко используются при частотных мето­дах анализа электрических цепей (см. § 4.2—4.4, 9.5).

Зная передаточную функцию цепи Н(р), с помощью (7.40) не­трудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и са­му реакцию на заданное воздействие.

Операторную передаточную функцию Н(р) для пассивной цепи можно представить как дробно-рациональную функцию с вещест­венными коэффициентами:

        

или в виде

               

где  p₀₁, p₀₂, ..., p_0n — нули; p₁, p₂, ..., p_m — полюсы передаточной функции; Н = а_n/b_m.

Степени полиномов числителя п и знаменателя т зависят от числа реактивных элементов пассивной цепи.

Заменив в (7.41) оператор р на jw, получим комплексную пе­редаточную функцию цепи

где АЧХ цепи

   

ФЧХ цепи

                

Учитывая, что согласно (7.43) |H(jw)| является иррациональ­ной, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

        

где коэффициенты с_k и d_k получаются путем объединения коэф­фициентов при одинаковых степенях переменной w.

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функ­цией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффи­циентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой по­луплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции Н_и(р) = U₂(р)/U₁(р). Выберем входное воздействие u₁(t) = d(t) или в операторной форме U(р) = l. Изображение вы­ходного напряжения U₂(р) = U₁(р)Н_и(р)  в этом случае численно равно Н_и(р), т. е.

где w(p) — полином числителя передаточной функции; A₁, A₂, ..., A_m, —коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения U₂(p) к оригиналу u₂(t):

                 

где в общем случае p_i = a_i + jw_i.

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках коле­бания на выходе четырехполюсника после прекращения воздей­ствия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (7.46) вещественные части полюсов p_i должны быть отрицатель­ными (a_i < 0), т. е. полюсы должны находиться в левой полупло­скости переменной р.

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. п < т. Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значе­ние (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией пере­менной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с оче­видностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по пере­даточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и беско­нечно больших значений при w > 0. Неотрицательность  следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Ко­нечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем заключается сущность операторного метода расчета цепи?

2. Что такое операторное сопротивление цепи?

3. Что такое операторные схемы замещения при составлении эквивалентной операторной схемы?

4.

Рис. 7.7                                         Рис. 7.8                                              Рис. 7.9

Чем заменяются индуктивности и емкости в операторной  схеме замещения?

5. Как учитываются независимые начальные условия?

6. Записать закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме.

7. Что такое единичная функция и d-функция?

8. Что понимается под операторной передаточной функцией? Каковы ее свойства?

9. Каким образом можно перейти от изображения к оригиналу?

10.    Для схемы, изображенной на рис. 7.7, операторным методом определить напряжение на конденсаторе u_C(t). U = 20 В; R₁ = = R₂ = 100 Ом; С = 4 мкФ.

           Ответ:    u_C(t) = 10 – , В.

11.    Для схемы, изображенной на рис. 7.8, найти изображение тока I₂(p).

           Ответ:    I₂(p) = .

12.    Зная изображение тока (рис. 7.8), определить оригинал i₂(t).

           Ответ:    i₂(t) = 2,5 – 0,825 .

13.    Для схемы, изображенной на рис. 7.9, определить:                          

1) операторную передаточную функцию H_u(p);                                   

2) найти АЧХ цепи.

            Ответ:              

---